Loi binomiale et variables aléatoires

Schéma de Bernoulli, P(X=k) et E(X), somme de variables aléatoires, inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Mathématiques · fiche gratuite · 18 min de lecture

Cette fiche va du schéma de Bernoulli à la loi des grands nombres ; les deux autres chapitres de maths en accès libre relèvent, eux, de l’analyse. Eux aussi sans rien payer — fiche + QCM corrigé, sans compte, sans email : Suites numériques et récurrence · Dérivation et convexité. Ou reçois l’accès à tes chapitres gratuits par email.

Ce qu'il faut savoir faire

Reconnaître un schéma de Bernoulli, calculer une probabilité avec la loi binomiale, donner espérance et écart-type, puis manipuler une somme de variables aléatoires et appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour dimensionner un échantillon.

Épreuve et schéma de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1 − p).

Un schéma de Bernoulli répète n fois cette épreuve, de façon identique et indépendante.

Vérifier ces trois conditions vaut des points, et c'est ce qui distingue un bon copie d'une copie moyenne : répétition, identité, indépendance.

La loi binomiale

Si X compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli à n épreuves de probabilité p, alors X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée X ~ B(n ; p), et pour tout entier k entre 0 et n :

P(X = k) = C(n,k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

où C(n,k) est le coefficient binomial « k parmi n ».

Lecture des trois facteurs : C(n,k) compte les positions possibles des k succès, pᵏ est la probabilité de ces k succès, (1−p)ⁿ⁻ᵏ celle des n−k échecs.

Espérance, variance, écart-type

• E(X) = np
• V(X) = np(1 − p)
• σ(X) = √(np(1 − p))

E(X) est le nombre moyen de succès attendu si l'on répétait l'expérience un grand nombre de fois.

Probabilités cumulées

• « au moins un succès » : P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) — passer par l'événement contraire, c'est presque toujours plus rapide.
• « au plus k » : P(X ≤ k), directement à la calculatrice.
• « au moins k » : P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Le « k − 1 » est l'erreur classique.

Somme de variables aléatoires

Deux formules, et une condition à surveiller.

• Linéarité de l'espérance : E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX) = aE(X). Elle est toujours vraie, même si X et Y ne sont pas indépendantes.
• Additivité de la variance : V(X + Y) = V(X) + V(Y) — uniquement si X et Y sont indépendantes.
• V(aX) = a²V(X) : le carré, c'est là que se perdent les points.

À quoi ça sert : X ~ B(n ; p) est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes de paramètre p, chacune d'espérance p et de variance p(1 − p). D'où E(X) = np et V(X) = np(1 − p) : les formules de la section précédente ne sont pas à apprendre par cœur, elles se redémontrent en trois lignes.

Échantillon de taille n d'une loi : une liste (X₁, …, Xₙ) de variables indépendantes suivant toutes cette loi. Sa moyenne Mₙ = (X₁ + … + Xₙ)/n vérifie E(Mₙ) = μ et V(Mₙ) = V/n.

Concentration et loi des grands nombres

• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Pour X d'espérance μ et de variance V, et pour tout réel δ > 0 : P(|X − μ| ≥ δ) ≤ V(X)/δ².
• Inégalité de concentration. Pour la moyenne Mₙ d'un échantillon de taille n : P(|Mₙ − μ| ≥ δ) ≤ V/(nδ²).
• Loi des grands nombres : quand n grandit, ce majorant tend vers 0 — la moyenne de l'échantillon se concentre autour de μ.

La capacité exigée est précise : appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour déterminer une taille d'échantillon, à partir d'une précision δ et d'un risque α. On écrit V/(nδ²) ≤ α, puis on isole n ≥ V/(αδ²).

Les erreurs qui coûtent le plus

• Oublier le coefficient binomial et écrire P(X = k) = pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ.
• Confondre variance et écart-type : l'écart-type est la racine carrée de la variance.
• Utiliser la loi binomiale quand les tirages sont sans remise : les épreuves ne sont alors plus indépendantes.
• Se tromper d'inégalité entre P(X ≥ k) et 1 − P(X ≤ k − 1).
• Écrire V(X + Y) = V(X) + V(Y) sans vérifier l'indépendance : la linéarité de l'espérance, elle, ne demande aucune hypothèse.
• Écrire V(aX) = aV(X) au lieu de a²V(X).
• Croire que Bienaymé-Tchebychev donne une probabilité : elle en donne un majorant, et seulement pour l'écart à l'espérance.

Vérifié le 15/10/2026 : ce chapitre figure au programme officiel de l’enseignement de spécialité de mathématiques de terminale (arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A, BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) — annexe toujours en vigueur pour la session 2027, celle de l’arrêté du 26-2-2026 qui la remplacera (NOR MENE2602919A) n’entrant en application qu’à la rentrée 2027-2028. Son annexe porte « Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli », « Schéma de Bernoulli : répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes », « Loi binomiale ℬ(n,p) : loi du nombre de succès. Expression à l’aide des coefficients binomiaux », « Somme de deux variables aléatoires », « Application à l’espérance, la variance et l’écart type de la loi binomiale », et la section « Concentration, loi des grands nombres » avec « Inégalité de Bienaymé-Tchebychev ». Au programme de première en vigueur depuis la rentrée 2026-2027 (annexe de l’arrêté du 26-2-2026, NOR MENE2602917A, BO n° 14 du 2 avril 2026, qui a remplacé celle de l’arrêté du 17-1-2019), ni la loi binomiale, ni la loi des grands nombres, ni l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne figurent : sa partie probabilités va des probabilités conditionnelles et de la formule des probabilités totales jusqu’à la variable aléatoire, son espérance, sa variance et son écart type, et ne s’approche du schéma de Bernoulli que par « Pour n ⩽ 4, répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques ». Le reste de cette fiche est donc bien du terminale. L’épreuve, elle, est régie par la note de service du 11-9-2026 (NOR MENE2622642N, BO spécial n° 4 du 17 septembre 2026), qui précise que « l’épreuve porte sur le programme de l’enseignement de spécialité de la classe de terminale en vigueur ».

Avant l'épreuve : Méthode de l'épreuve de spécialité maths — le déroulé, le barème et ce que le correcteur attend, en détail.