Suites numériques et récurrence

Récurrence, limites et théorèmes de comparaison, plus les 3 démonstrations exigibles et la recherche de seuil.

Mathématiques · fiche gratuite · 18 min de lecture

Le sens de variation d’une suite définie par u(n) = f(n) se lit sur celui de f, donc sur le signe de sa dérivée. Les deux autres chapitres de maths en accès libre portent, l’un sur la dérivation, l’autre sur les probabilités — fiche + QCM corrigé, sans compte, sans email : Dérivation et convexité · Loi binomiale et variables aléatoires. Ou reçois l’accès à tes chapitres gratuits par email.

Ce qu'il faut savoir faire

Montrer qu'une suite est croissante ou décroissante, majorée ou minorée, et déterminer sa limite. La récurrence est presque toujours attendue au moins une fois dans le sujet.

Le programme officiel (arrêté du 19-7-2019, BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) ajoute deux choses que beaucoup de fiches passent sous silence, et qui tombent : trois démonstrations sont exigibles sur ce seul chapitre — un sujet peut te demander de les refaire — et la recherche de seuil y figure comme exemple d'algorithme. Les deux sont traitées plus bas.

Le raisonnement par récurrence — les trois étapes

Pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀ :

1. Initialisation — vérifier P(n₀). Une ligne, mais elle vaut des points.
2. Hérédité — supposer P(n) vraie pour un entier n ≥ n₀ fixé, puis démontrer P(n+1).
3. Conclusion — « P est vraie au rang n₀ et héréditaire, donc vraie pour tout n ≥ n₀. »

La phrase d'hypothèse compte : « Supposons qu'il existe un entier n ≥ n₀ tel que P(n) soit vraie. » Le correcteur la cherche.

Sens de variation

• Étudier le signe de u(n+1) − u(n). Positif ⟹ croissante.
• Si tous les termes sont strictement positifs, comparer u(n+1)/u(n) à 1.
• Si u(n) = f(n) avec f définie sur [0 ; +∞[, le sens de variation de f donne celui de la suite.

Limites à connaître

Pour une suite géométrique de raison q :

• si −1 < q < 1 alors qⁿ → 0
• si q > 1 alors qⁿ → +∞
• si q ≤ −1 la suite n'a pas de limite

Les théorèmes qui débloquent un exercice

• Comparaison : si u(n) ≥ v(n) à partir d'un rang et v(n) → +∞, alors u(n) → +∞.
• Encadrement (« gendarmes ») : si v(n) ≤ u(n) ≤ w(n) et si v et w tendent vers la même limite L, alors u(n) → L.
• Limite monotone : toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Ce théorème est admis par le programme : on ne te demandera pas de le démontrer.
• Croissante non majorée : toute suite croissante et non majorée tend vers +∞. C'est l'autre branche de l'alternative — une suite croissante fait l'un ou l'autre, jamais autre chose. Celui-là, il faut savoir le démontrer.

Les erreurs qui coûtent le plus

• Oublier l'initialisation. L'hérédité seule ne démontre rien.
• Croire qu'une suite croissante et majorée par M converge vers M. Elle converge vers une limite inférieure ou égale à M.
• Écrire « u(n) → L donc u(n+1) → L » sans le justifier : c'est vrai, mais il faut le dire.
• Confondre « la suite n'est pas majorée » et « la suite tend vers +∞ ». La deuxième implique la première, pas l'inverse.

Opérations sur les limites, et les quatre formes indéterminées

Somme, produit et quotient de limites se calculent « comme on l'espère », sauf dans quatre cas où le résultat dépend des suites et où le calcul direct ne conclut pas :

• ∞ − ∞ (une somme)
• 0 × ∞ (un produit)
• ∞/∞ et 0/0 (un quotient)

« Forme indéterminée » ne veut pas dire « pas de limite » : cela veut dire cette écriture-là ne suffit pas. On lève l'indétermination en transformant l'expression — factoriser par le terme dominant, utiliser une expression conjuguée, ou passer par un encadrement. Écrire « FI donc pas de limite » coûte tous les points de la question.

Les trois démonstrations exigibles du chapitre

Le programme en liste trois pour les suites. Un sujet peut les demander telles quelles ; ce sont les seules du chapitre à savoir rédiger de bout en bout.

La recherche de seuil — l'algorithme que le programme cite

« Recherche de seuils » est nommément un exemple d'algorithme du chapitre. Question type : à partir de quel rang u(n) dépasse-t-il 1000 ? On ne résout pas d'inéquation, on fait tourner la suite.

# u(0) = 2 et u(n+1) = 1,5 × u(n)
u = 2
n = 0
while u <= 1000:
    u = 1.5 * u
    n = n + 1
print(n)

Les deux points où l'on perd les points :

• La condition de la boucle est la négation de ce qu'on cherche. On veut le premier n tel que u(n) > 1000, donc on boucle tant que u ≤ 1000.
• Il faut incrémenter n dans la boucle, en même temps que u, sinon les deux ne décrivent plus le même rang.

Un seuil n'a de sens que si la suite dépasse effectivement la valeur visée : sur une suite convergente, la boucle ne s'arrête jamais.

Avant l'épreuve : Méthode de l'épreuve de spécialité maths — le déroulé, le barème et ce que le correcteur attend, en détail.