Dérivation et convexité

Dériver une fonction composée (dont eᵘ et ln u), relier signe de f′ et variations, signe de f″ et convexité, et placer un point d'inflexion.

Mathématiques · fiche gratuite · 11 min de lecture

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Ce qu'il faut savoir faire

Dériver une fonction composée, passer du signe de la dérivée aux variations, du signe de la dérivée seconde à la convexité, et lire une position de courbe par rapport à sa tangente.

Dérivée et variations (rappel de première)

Sur un intervalle I :

• f′(x) > 0 sur I ⟹ f strictement croissante sur I
• f′(x) < 0 sur I ⟹ f strictement décroissante sur I
• f′ s'annule en changeant de signe en a ⟹ extremum local en a

Attention : f′(a) = 0 ne suffit pas. Pour f(x) = x³, on a f′(0) = 0 et pourtant aucun extremum.

Équation de la tangente (rappel de première)

La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation :

y = f′(a)(x − a) + f(a)

C'est une formule à savoir écrire de mémoire, elle tombe très souvent.

Dérivée d'une fonction composée — le cœur du chapitre en terminale

C'est la nouveauté de terminale, et elle est presque toujours testée. Si u est dérivable sur I et f dérivable sur l'intervalle image, alors x ↦ f(u(x)) est dérivable et :

(f(u))′ = u′ × f′(u)

On dérive la fonction « du dehors » en gardant u à l'intérieur, puis on multiplie par u′. Les cas à connaître par cœur, tous déduits de cette règle :

• (uⁿ)′ = n · u′ · uⁿ⁻¹
• (√u)′ = u′ / (2√u) (pour u > 0)
• (eᵘ)′ = u′ · eᵘ
• (ln u)′ = u′ / u (pour u > 0)

Exemple : pour f(x) = e^(3x²−1), on pose u(x) = 3x² − 1, donc u′(x) = 6x, et f′(x) = 6x · e^(3x²−1).

L'erreur la plus sanctionnée du chapitre : oublier le facteur u′, c'est-à-dire « oublier de dériver l'intérieur ».

Convexité

• f″(x) ≥ 0 sur I ⟹ f convexe sur I : la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes.
• f″(x) ≤ 0 sur I ⟹ f concave : la courbe est en dessous de ses tangentes.
• f″ s'annule en changeant de signe en a ⟹ point d'inflexion en a : la courbe traverse sa tangente.

Moyen mnémotechnique : convexe comme un bol qui retient l'eau, concave comme un dôme.

Méthode type

1. Pour une fonction composée (exponentielle, logarithme, puissance, racine), poser u, calculer u′, puis appliquer (f(u))′ = u′ · f′(u).
2. Calculer f′, étudier son signe, dresser le tableau de variations.
3. Calculer f″, étudier son signe, en déduire convexité et points d'inflexion.
4. Pour la position courbe/tangente : étudier le signe de f(x) − [f′(a)(x − a) + f(a)].

Les erreurs qui coûtent le plus

• Dériver une composée sans le facteur u′ : (e^(u))′ = u′·e^(u), pas e^(u). C'est la faute n°1 du chapitre.
• Confondre f′ et f″ : f′ donne les variations, f″ donne la convexité. Une fonction décroissante peut très bien être convexe.
• Conclure à un point d'inflexion dès que f″(a) = 0, sans vérifier le changement de signe.
• Oublier de préciser l'intervalle : « f est croissante » ne veut rien dire sans le « sur I ».

Vérifié le 15/10/2026 : ce chapitre est à cheval sur les deux années, et le découpage annoncé ci-dessus correspond aux textes. Les deux sections marquées « rappel de première » relèvent du programme de première, dont l’annexe en vigueur depuis la rentrée 2026-2027 est celle de l’arrêté du 26-2-2026 (NOR MENE2602917A, BO n° 14 du 2 avril 2026), qui a remplacé celle de l’arrêté du 17-1-2019 : elle porte, mot pour mot « Nombre dérivé d’une fonction en un point, comme limite du taux de variation », « Tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point, comme “limite des sécantes” », puis, à la section suivante, « Lien entre le sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle et signe de sa fonction dérivée ». La fonction composée et la convexité relèvent, elles, de la terminale (arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A, BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019) — annexe toujours en vigueur pour la session 2027, celle de l’arrêté du 26-2-2026 qui la remplacera (NOR MENE2602919A) n’entrant en application qu’à la rentrée 2027-2028 —, section « Compléments sur la dérivation » : « Composée de deux fonctions, notation v ○ u », « Dérivée seconde d’une fonction », « Fonction convexe sur un intervalle : définition par la position relative de la courbe représentative et des sécantes » et « Point d’inflexion ». L’épreuve est régie par la note de service du 11-9-2026 (NOR MENE2622642N, BO spécial n° 4 du 17 septembre 2026), qui précise que « l’épreuve porte sur le programme de l’enseignement de spécialité de la classe de terminale en vigueur ».

Avant l'épreuve : Méthode de l'épreuve de spécialité maths — le déroulé, le barème et ce que le correcteur attend, en détail.