Ondes mécaniques, diffraction et interférences

Célérité, longueur d'onde, condition de diffraction, différence de marche.

Physique-chimie · fiche gratuite · 19 min de lecture

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Ce qu'il faut savoir faire

Décrire la propagation d'une onde mécanique et calculer un retard, relier λ, v et f, exploiter un niveau d'intensité sonore en décibels, déterminer une vitesse par effet Doppler, exploiter θ = λ/a en diffraction et i = λD/b en interférences.

L'onde mécanique : la définition attendue mot pour mot

Une onde mécanique progressive est la propagation d'une perturbation dans un milieu matériel, sans transport de matière. Le milieu oscille sur place ; ce qui se déplace, c'est la perturbation — et l'énergie qu'elle transporte. Les deux moitiés de la phrase comptent : « sans transport de matière » et « avec transport d'énergie ».

Transversale ou longitudinale :

• transversale : la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation (corde qu'on secoue, vague, onde sismique S)
• longitudinale : elle est parallèle à la propagation (son dans l'air — compressions et dilatations successives, onde sismique P)

Le retard. Un point M situé à la distance d de la source reproduit le mouvement de la source avec un retard τ = d / v. C'est la relation qui permet de lire une célérité sur deux courbes décalées. Sur un aller-retour (sonar, échographie, écho), la distance cherchée vaut d = v·τ / 2 — l'oubli du facteur 2 est la faute la plus fréquente de l'exercice.

La double périodicité. Une onde progressive périodique se répète dans le temps (période T) et dans l'espace (longueur d'onde λ) :

λ = v T = v / f, avec f = 1 / T

λ est la distance parcourue par l'onde pendant une période, c'est-à-dire la distance entre deux points en phase consécutifs.

La célérité dépend du milieu, pas de la source. Ordres de grandeur à connaître pour le son : ≈ 340 m·s⁻¹ dans l'air à 20 °C, ≈ 1 500 m·s⁻¹ dans l'eau, ≈ 5 000 m·s⁻¹ dans l'acier. Conséquence directe, et régulièrement piégée : quand une onde change de milieu, la fréquence est imposée par la source et reste inchangée ; c'est v qui change, donc λ change.

Intensité sonore et niveau en décibels

Intensité sonore I : puissance sonore reçue par unité de surface, en W·m⁻².

Niveau d'intensité sonore : L = 10 log(I / I₀), en décibels (dB), avec I₀ = 1,0 × 10⁻¹² W·m⁻² (seuil d'audibilité conventionnel à 1 kHz). Relation inverse à savoir écrire : I = I₀ × 10^(L/10).

Ce qu'il faut manipuler sans calculatrice :

• intensité × 2 → + 3 dB (10 log 2 ≈ 3,0)
• intensité × 10 → + 10 dB
• intensité × 100 → + 20 dB

Les décibels ne s'additionnent pas. Deux sources identiques de 60 dB ne font pas 120 dB : on additionne les intensités, qui doublent, donc 63 dB. C'est le piège numéro un du chapitre.

Atténuation : A = L₁ − L₂, en dB. Pour une source ponctuelle rayonnant dans toutes les directions, I = P / (4πd²) : l'intensité varie en 1/d², donc doubler la distance coûte 6 dB.

Repères utiles : 0 dB seuil d'audibilité · 60 dB conversation · 85 dB seuil de risque en exposition prolongée · 120 dB seuil de douleur.

Exemple type. I = 2,5 × 10⁻⁵ W·m⁻² → L = 10 log(2,5 × 10⁻⁵ / 1,0 × 10⁻¹²) = 10 log(2,5 × 10⁷) = 74 dB. Une seconde source identique porte le total à 77 dB, pas à 148.

Effet Doppler

C'est le décalage de fréquence dû au mouvement relatif entre la source et l'observateur.

Qualitativement : la source s'approche → les fronts d'onde se resserrent devant elle → λ diminue et la fréquence perçue augmente (son plus aigu). Elle s'éloigne → la fréquence perçue diminue (son plus grave). Le changement de hauteur s'entend au moment du passage, pas avant.

D'où vient la formule. Pendant une période T, la source avance de v_s T : deux fronts successifs ne sont plus séparés de vT mais de λ' = (v − v_s) T. Comme f' = v / λ' :

• source qui s'approche : f' = f × v / (v − v_s)
• source qui s'éloigne : f' = f × v / (v + v_s)

où v est la célérité de l'onde dans le milieu et v_s la vitesse de la source. La célérité v est au numérateur ; la vitesse de la source n'apparaît qu'au dénominateur.

Exemple type. Sirène de fréquence 700 Hz, véhicule à v_s = 30 m·s⁻¹, son à v = 340 m·s⁻¹ :

• en approche : f' = 700 × 340 / 310 = 768 Hz
• après le passage : f' = 700 × 340 / 370 = 643 Hz
• l'écart perçu, 125 Hz, est précisément ce qu'on mesure pour remonter à la vitesse du véhicule.

Les applications qui tombent en exercice : cinémomètre routier et radar, échographie Doppler (vitesse du sang), mesure de la vitesse radiale des étoiles et détection d'exoplanètes, décalage vers le rouge des galaxies lointaines — argument observationnel de l'expansion de l'Univers. Pour la lumière et des vitesses faibles devant c, on utilise Δλ / λ ≈ v / c.

Diffraction

Une onde est diffractée quand elle rencontre une ouverture ou un obstacle de dimension a du même ordre de grandeur que λ, ou plus petite. L'onde ne passe plus tout droit : elle s'étale.

Écart angulaire entre le milieu de la tache centrale et le premier minimum :

θ = λ / a, avec θ en radians (approximation des petits angles)

Sur un écran à la distance D, la largeur de la tache centrale vaut :

L = 2 λ D / a

La relation est inverse : fente étroite → tache large. C'est le résultat le plus demandé du chapitre, et l'inverser fait perdre toute la question.

Ce que la diffraction ne change pas : ni la fréquence, ni la longueur d'onde, ni la célérité. Seule la direction de propagation est modifiée.

Exemple type. Laser λ = 633 nm, fente a = 0,10 mm, écran à D = 2,00 m : θ = 633 × 10⁻⁹ / 1,0 × 10⁻⁴ = 6,3 × 10⁻³ rad, puis L = 2 × 6,3 × 10⁻³ × 2,00 = 2,5 cm.

Le protocole expérimental attendu : faire varier a, mesurer L, puis tracer L en fonction de 1/a. On obtient une droite passant par l'origine, de coefficient directeur 2λD — d'où λ. Tracer L en fonction de a ne donne pas une droite : c'est tout le sens de l'exercice.

Deux pièges de figure : une fente verticale étale la tache horizontalement, perpendiculairement à la fente ; et un fil de diamètre a donne la même figure qu'une fente de largeur a.

La diffraction de la lumière est l'observation qui impose le modèle ondulatoire : un modèle purement corpusculaire ne la prévoit pas.

Interférences

Deux ondes cohérentes — même fréquence, déphasage constant, en pratique deux fentes éclairées par la même source — se superposent. Le résultat en un point M ne dépend que de la différence de marche :

δ = |S₂M − S₁M|

• δ = k λ (k entier) → interférences constructives, amplitude maximale, frange brillante
• δ = (k + ½) λ → interférences destructives, amplitude minimale, frange sombre

k est l'ordre d'interférence. Au centre de la figure δ = 0 : la frange centrale est toujours brillante.

Fentes d'Young. Pour deux fentes distantes de b, sur un écran à la distance D, les franges sont régulièrement espacées de l'interfrange :

i = λ D / b

Exemple type. λ = 633 nm, b = 0,20 mm, D = 2,00 m → i = 633 × 10⁻⁹ × 2,00 / (2,0 × 10⁻⁴) = 6,3 mm.

La mesure qui rapporte les points : on ne mesure jamais un interfrange. On mesure la largeur de N interfranges et on divise par N — l'incertitude est divisée par N d'un coup.

En lumière blanche : la frange centrale est blanche (δ = 0 pour toutes les longueurs d'onde), les suivantes sont irisées puis se brouillent, parce que i dépend de λ — le rouge est plus écarté que le bleu.

Les interférences ne créent pas d'énergie : elle est redistribuée. Ce qui manque dans les franges sombres se retrouve dans les franges brillantes.

Ne pas confondre diffraction et interférences

Dans une expérience à deux fentes, les deux phénomènes coexistent : les franges d'interférences, espacées de i, sont modulées par la figure de diffraction de chaque fente, de largeur 2λD/a. C'est exactement ce que montre la photo classique des sujets.

Analyser une mesure : incertitude-type et écart normalisé

En physique-chimie, la dernière question d'un exercice expérimental n'est presque jamais un calcul : c'est « votre résultat est-il compatible avec la valeur de référence ? ». Une copie qui donne le bon nombre et s'arrête là laisse les points de la fin sur la table. Les cinq outils ci-dessous suffisent pour toutes les situations du programme.

1 — L'incertitude-type d'une mesure unique. Avec un instrument gradué dont la plus petite graduation vaut d, on retient u(x) = d / √3. Une règle graduée au millimètre donne u = 1/√3 ≈ 0,6 mm. Si la mesure exige deux pointés (le bord gauche et le bord droit d'une tache), les deux incertitudes se composent et u ≈ 0,8 mm.

2 — Répéter la mesure. Pour N mesures indépendantes, la meilleure valeur est la moyenne, et l'incertitude-type vaut u = s / √N, où s est l'écart-type expérimental (touche σₙ₋₁ de la calculatrice). Le √N est une mauvaise nouvelle déguisée en bonne : diviser l'incertitude par 2 coûte 4 fois plus de mesures.

3 — Composer les incertitudes. Pour un produit ou un quotient, ce sont les incertitudes relatives qui se composent, et en carrés :

u(λ)/λ = √[ (u(L)/L)² + (u(a)/a)² + (u(D)/D)² ]

Pour une somme ou une différence, ce sont les incertitudes absolues qui se composent en carrés. La règle à retenir tient en une phrase : on n'additionne jamais deux incertitudes directement, on additionne leurs carrés. Conséquence utile en temps limité : un terme trois fois plus petit qu'un autre ne pèse quasiment rien dans la racine — on peut dire lequel domine et le justifier.

4 — Écrire le résultat. L'incertitude s'arrondit à un chiffre significatif (deux au maximum), et la valeur s'aligne sur la même décimale. On écrit λ = (6,30 ± 0,11) × 10⁻⁷ m. Écrire « λ = 6,3047 × 10⁻⁷ ± 0,11 × 10⁻⁷ m » est une contradiction dans les termes : les trois derniers chiffres affirment une précision que l'incertitude vient de démentir.

5 — L'écart normalisé, la question qui termine l'exercice.

z = |x_mesurée − x_référence| / √( u(x_mesurée)² + u(x_référence)² )

• z ≤ 2 → les deux valeurs sont compatibles ; l'écart s'explique par les incertitudes.
• z > 2 → elles ne le sont pas ; il faut alors chercher une erreur systématique (un décalage toujours dans le même sens : zéro mal réglé, distance mesurée depuis le mauvais plan, valeur tabulée prise à la mauvaise température), et non « une erreur de calcul ».

La phrase à écrire, telle quelle : *« L'écart normalisé vaut z = 0,27. Il est inférieur à 2 : la valeur mesurée est compatible avec la valeur de référence, l'écart observé s'explique par les incertitudes de mesure. »*

Deux mises en garde que les copies ignorent. Un résultat incompatible n'est pas un exercice raté — il vaut tous ses points si vous nommez une cause systématique plausible. Et à l'inverse, une incertitude énorme rend tout compatible : annoncer 630 ± 200 nm et conclure triomphalement à la compatibilité, c'est avouer que la mesure ne sert à rien.

Un exercice de bac déroulé de bout en bout

Ce qui suit est l'exercice de diffraction tel qu'il tombe, puis ce qu'une copie doit contenir — pas un corrigé en style télégraphique, les phrases exactes.

Énoncé

*On éclaire des fentes calibrées de largeur a avec un laser, et on mesure sur un écran placé à D = 2,00 m la largeur L de la tache centrale de diffraction. La distance D est connue à 5 mm près. Les largeurs L sont mesurées à la règle graduée au millimètre.*

*1. Justifier que le phénomène observé est bien une diffraction. 2. Établir la relation entre L, λ, D et a, et en déduire le graphique à tracer. 3. Déterminer le coefficient directeur de la droite obtenue. 4. En déduire λ. 5. Évaluer u(λ). 6. Le constructeur annonce λ = 633 nm, connue à 1 nm près : le résultat est-il compatible ? 7. Quelle mesure limite la précision, et comment l'améliorer ?*

Le brouillon, avant d'écrire une seule phrase

Trois lignes suffisent, et elles évitent les trois quarts des pertes de points : (a) ce qu'on cherche — une longueur d'onde, donc un résultat de l'ordre de quelques centaines de nanomètres, tout autre ordre de grandeur sera faux ; (b) la seule relation du cours qui relie les colonnes du tableau, L = 2λD/a ; (c) le fait que le tableau contient cinq mesures et pas une — l'énoncé ne demande donc pas un calcul mais une régression graphique, et calculer λ cinq fois pour en faire la moyenne, c'est répondre à côté de ce qui est noté.

Question 1 — la nuance que presque toutes les copies ratent

*« Une onde est diffractée lorsqu'elle rencontre une ouverture dont la dimension n'est pas très grande devant sa longueur d'onde. Ici a est compris entre 50 µm et 200 µm, pour λ de l'ordre de 0,6 µm. »*

À ce stade, un élève attentif voit une difficulté : a ≈ 80 λ, ce n'est pas « le même ordre de grandeur ». Il a raison de tiquer, et la bonne réponse est celle-ci : le critère utile n'est pas que a soit égal à λ, c'est que l'écart angulaire θ = λ/a soit assez grand pour être observable. Ici θ = 1,3 × 10⁻² rad, ce qui donne 5 cm d'étalement sur un écran à 2 m : parfaitement visible. Plus a diminue, plus le phénomène est marqué ; s'il est très grand devant λ, l'étalement existe toujours mais devient indétectable. Écrire « a est du même ordre de grandeur que λ » devant ce tableau est faux, et le correcteur le voit.

Question 2 — la formule, établie et non récitée

*« L'écart angulaire entre le milieu de la tache centrale et le premier minimum vaut θ = λ/a. La tache centrale s'étend symétriquement de part et d'autre de l'axe, sur une demi-largeur D·tan θ ≈ D·θ dans l'approximation des petits angles. Sa largeur totale vaut donc :*

L = 2 D θ = 2 λ D / a

*Cette relation s'écrit L = (2λD) × (1/a) : L est proportionnelle à 1/a et non à a. Le graphique à tracer est donc L en fonction de 1/a, qui doit donner une droite passant par l'origine. »*

Le membre de phrase « passant par l'origine » n'est pas décoratif : il porte un point à lui seul, parce qu'il est ce qui valide le modèle. Une droite qui ne passe pas par l'origine signalerait un décalage systématique dans la mesure de L.

Question 3 — le coefficient directeur

On complète d'abord le tableau, et on convertit — c'est ici que se perdent les facteurs 1 000 :

*« Les points sont alignés et la droite moyenne passe par l'origine. Son coefficient directeur se lit sur deux points de la droite tracée, choisis aussi éloignés que possible :*

k = (50,4 − 12,6) × 10⁻³ / (20 000 − 5 000) = 37,8 × 10⁻³ / 1,50 × 10⁴ = 2,52 × 10⁻⁶ m² *»*

Deux réflexes valent des points ici. Le coefficient directeur se lit sur la droite, jamais sur deux points expérimentaux — sinon toute la moyenne faite par le tracé est perdue. Et son unité se déduit : des mètres divisés par des mètres⁻¹, donc des m². Savoir nommer l'unité d'un coefficient directeur est un marqueur de copie sérieuse.

Question 4 — la longueur d'onde

*« Par identification, k = 2λD, donc :*

λ = k / (2D) = 2,52 × 10⁻⁶ / (2 × 2,00) = 6,30 × 10⁻⁷ m = 630 nm

*Cette valeur appartient au domaine visible, dans le rouge, ce qui est cohérent avec l'utilisation d'un laser rouge. »*

La dernière phrase coûte cinq secondes et rapporte le point de cohérence, qui est presque toujours au barème.

Question 5 — l'incertitude

*« On encadre le nuage de points par les deux droites extrêmes acceptables, de coefficients k_min = 2,44 × 10⁻⁶ m² et k_max = 2,60 × 10⁻⁶ m², d'où :*

u(k) = (k_max − k_min) / (2√3) = 0,16 × 10⁻⁶ / 3,46 = 4,6 × 10⁻⁸ m², soit u(k)/k = 1,8 %

*L'incertitude relative sur D vaut u(D)/D = 5 × 10⁻³ / 2,00 = 0,25 %. Comme λ = k/(2D) est un quotient :*

u(λ)/λ = √(0,018² + 0,0025²) = 0,018, soit u(λ) = 0,018 × 630 = 11 nm

*Le résultat s'écrit λ = (630 ± 11) nm, soit (6,30 ± 0,11) × 10⁻⁷ m. L'incertitude sur D est négligeable devant celle du tracé : c'est le graphique qui limite la précision. »*

Question 6 — l'écart normalisé

*« z = |630 − 633| / √(11² + 1²) = 3 / 11,0 = 0,27. Cet écart normalisé est inférieur à 2 : la valeur mesurée est compatible avec la valeur annoncée par le constructeur, l'écart observé s'expliquant par les incertitudes de mesure. »*

Question 7 — l'esprit critique, et il se prépare

*« La mesure la moins précise est celle de la fente la plus large (a = 0,200 mm) : sa tache ne mesure que 12,5 mm, et l'incertitude de pointé (≈ 0,8 mm) y représente 6 % de la valeur, contre 1,6 % pour la tache de 50 mm. Ce sont les petites taches qui dégradent le tracé.*

*Trois améliorations, par efficacité décroissante : éloigner l'écran (L est proportionnelle à D, l'incertitude de pointé ne l'est pas) ; mesurer la largeur de plusieurs taches ou répéter le pointé N fois pour diviser l'incertitude par √N ; photographier la figure avec une règle dans le champ et pointer sur l'image agrandie.*

*Une erreur systématique reste possible : si D est mesurée depuis la sortie du laser et non depuis le plan de la fente, toutes les valeurs de L sont affectées dans le même sens, ce qui décale λ sans dégrader l'alignement des points — un graphique parfait ne prouve donc pas l'absence d'erreur systématique. »*

Cette dernière phrase est le genre de remarque qui fait passer une copie de « juste » à « très bonne » : elle montre qu'on a compris ce qu'un alignement de points prouve, et ce qu'il ne prouve pas.

Partie B — le même exercice, version son, en plan détaillé

*Un marteau-piqueur produit L₁ = 95 dB à d₁ = 2,0 m. Le seuil de risque en exposition prolongée est de 85 dB.*

1. Niveau à 20 m. La distance est multipliée par 10, l'intensité varie en 1/d² donc elle est divisée par 100, soit − 20 dB : L = 75 dB. (Aucun logarithme à calculer : les trois repères ×2 → +3, ×10 → +10, ×100 → +20 suffisent.)

2. Deux marteaux identiques à 20 m. Les intensités s'additionnent et doublent, donc + 3 dB : 78 dB, et non 150.

3. Distance à laquelle on repasse sous le seuil de 85 dB. Il faut perdre 10 dB depuis d₁, donc diviser l'intensité par 10, donc multiplier la distance par √10 : d = 2,0 × 3,16 ≈ 6,3 m.

4. Un engin klaxonne en s'approchant : sa fréquence propre est 440 Hz, le piéton perçoit 470 Hz. Source qui s'approche, donc f' = f·v/(v − v_s), d'où v_s = v(1 − f/f') = 340 × (1 − 440/470) = 21,7 m·s⁻¹ ≈ 78 km·h⁻¹.

Ce que le correcteur voit en trois secondes

Les erreurs qui coûtent le plus

• Croire que la fréquence change lors d'un changement de milieu : c'est la longueur d'onde qui change.
• Additionner des décibels : on additionne les intensités, pas les niveaux. 60 dB + 60 dB = 63 dB.
• Oublier le facteur 2 dans un aller-retour d'écho : d = v·τ / 2.
• Inverser la relation de diffraction : fente étroite → tache large.
• Calculer θ = λ/a puis traiter le résultat comme des degrés : la formule ne vaut qu'en radians.
• Confondre a, largeur de la fente (diffraction), et b, écart entre les fentes (interférences) : deux formules qui se ressemblent et ne décrivent pas la même chose.
• Confondre interfrange i et largeur de la tache centrale L.
• En effet Doppler, placer la vitesse de la source au numérateur : c'est la célérité de l'onde qui y figure.
• Oublier les conversions nm → m, mm → m, µm → m. Un résultat de diffraction faux d'un facteur 1 000 vient presque toujours de là.

Avant l'épreuve : Méthode de l'épreuve de spécialité physique-chimie — le déroulé, le barème et ce que le correcteur attend, en détail.